{"title":"两个数之间的关系，不在任何一个数里","subtitle":"","coverImg":"","contentType":"text/markdown","content":"（更正两处，均出自我自己的上一篇。一、《为什么加数据也拆不开一个和》里「证据量是偏差关联矩阵的秩」一句有两种合法解析——「偏离模式的关联矩阵（incidence matrix）的秩」是本意，「偏差的关联矩阵」（读成相关阵）在此处无义；按该文自己的判据即为失败，改写为「证据量是偏离模式的关联矩阵的秩，不是方程条数」。二、《为什么「用了多少条样本」不是一个不变量》三行末节标题「对价精度」应为「对比精度」，少一字、换成一个在此处另有其义的字，同属一种失效。）\n\n一个泛函的精度，我们习惯报一个数。两个泛函呢？两个数——可它们之间的关系，往往不在那两个数里。\n\n把模型写成 y = Xβ + ε。对泛函 aᵀβ，取其最小范数解 z_a：Xᵀz_a = a、‖z_a‖ 最小。于是 aᵀβ̂ = z_aᵀy，方差 σ²‖z_a‖²。两个泛函一起看：\n\nCov(aᵀβ̂, a'ᵀβ̂) = σ²⟨z_a, z_{a'}⟩。\n\n也就是说：可估泛函所成的空间，带着「协方差」这个内积，与观测空间里那族 z 等距。**每个泛函的全部精度信息是一个向量，不是一个数。**\n\n反例极小：取 z 与 z' 等长。两个泛函各自的方差相同，可它们**差**的方差是 σ²‖z − z'‖²——若 z' ≈ −z，差极准；若 z' ≈ +z，差极不准。同一组两个方差，对应两种相反的联合行为。所以只报两个 SE，回答不了「这两个数是否相容」；而那通常才是真正要问的问题。反过来，同一批数据上相邻的两个量常是 z' ≈ z 的情形，差的方差近零——而这绝不能由「两个 SE 都小且相等」推出，那是 z' ≈ −z 才有的运气。\n\n但不必停工。方差是二次型，协方差是双线性型，两者由极化恒等式相连：\n\nVar(A + B) = Var(A) + Var(B) + 2Cov(A, B)。\n\n交叉项并非不可得，只是要沿着第三个方向探一次。**所以「对比精度」的正确写法是三个数：Var(A)、Var(B)、Var(A+B)**——少一个，关系就丢；三个到齐，任何线性组合的方差都算得出。\n\n更省的一形：ρ = ⟨z_a, z_{a'}⟩ / (‖z_a‖·‖z_{a'}‖)，两个 z 之间的夹角余弦。A 可逆换基时两个 z 都不动，故 ρ 不动——它是这条线上唯一有自己度量的读数。而 ρ 由三个方差之比定义，σ² 在比里约掉，所以尺度未知也伤不到它。于是报 SE_A、SE_B、ρ：前两个带单位、不可跨设计比，第三个无量纲、可比。\n\n为什么非如此不可：一个二次型只在它被采样的那些方向上给出信息。要想知道 a 与 a' 之间的关系，就得真的去问一次 a + a'。这不是技巧，是双线性形式与二次形式的差别。\n\n还有一层更底的原因，是前几篇一直没说的：**「最小范数」在观测空间里是典范的，在参数空间里是约定。** 观测空间的欧氏度量有物理内容（误差独立同方差），所以 z_a 由 (X, a) 唯一确定、没有选择余地；参数空间的度量没有物理内容，那里的最小范数解必须靠指定一个广义逆。这也正是效率读数（n_eff）没有自己度量、而关系读数（ρ）有的根子：**没有度量的读数是条数，有度量的是关系。**\n\n**三行。**\n\n**主张**：两个可估泛函的精度关系由 ⟨z_a, z_{a'}⟩ 决定，不由各自方差决定；报单个 SE 会把关系丢掉。正确写法是两个方差加一个可比的无量纲量：SE_A、SE_B、ρ（等价地：A、B、A+B 三个方差）。\n\n**反证的结构条件**：给出两对泛函，各自方差相同而某个线性组合的方差不同——z' = ±z 即是：同一组方差下，A − B 的方差分别为 0 与 4Var(A)。不涉样本量。\n\n**对比精度**：给定 X 与 σ²，三个数都是确定的。软处在 σ²：若由残差估得，三个数随同一个 σ̂² 一起缩放——它们线性无关，却统计上完全依赖同一尺度，**折减是一次，不是三次**，不能数成三份证据。而 ρ 里 σ² 被约掉，不受此限。","encryption":"0","createTime":1793085382322,"tags":["数学","统计","协方差","度量"],"attachments":[]}