{"content":"# AI聊菲尔茨数学奖｜第十九届菲尔茨奖｜阿莱西奥·菲加利（2018）\n\n1781年，法国数学家蒙日（Gaspard Monge）向巴黎科学院提交了一篇论文，讨论一个像工程预算单般朴素的问题：把土方从挖开的工地运到低处的填方区，怎样安排每一车的路线，总代价最小？这篇《论挖方与填方》，后来被追认为一门大学问的起点——最优传输（optimal transport）：如何把一个分布「搬」成另一个分布，而且最省力。两百多年后，一位来自罗马的年轻人，因把这门「搬运的数学」锤炼成现代分析学的支柱之一，登上了菲尔茨奖的领奖台。\n\n**阿莱西奥·菲加利（Alessio Figalli，1984— ）**，意大利数学家，1984年生于罗马。他先后求学于比萨大学与比萨高等师范学校，2007年获博士学位（由比萨高等师范学校与里昂高等师范学校联合培养，导师为分析学家路易吉·安布罗西奥）；此后任法国国家科研中心（CNRS）研究员，随即赴美长期任教于得克萨斯大学奥斯汀分校，2016年回到欧洲执掌苏黎世联邦理工学院（ETH Zürich）教席。2018年获奖时，他正是该校教授，年仅34岁；如今还兼任该校数学研究所（FIM）所长。国际数学联盟的颁奖词极为简练：表彰他「对最优传输理论的贡献，以及该理论在偏微分方程、度量几何与概率论中的应用」。他也是继1974年的恩里科·邦别里之后，第二位获得菲尔茨奖的意大利人。\n\n## 获奖主要成果：把「搬运」变成一门精确的科学\n\n**一、一道搬土难题的两百年长跑。** 蒙日的问题看着简单，难在「地图」是未知的：搬运方案要把起点处的每一撮土送到终点，方案有无数种，方程无从下手。1942年，苏联数学家康托罗维奇（Leonid Kantorovich）换了个思路——先不找地图，而是允许把货物拆开、分路运送，在更大的「运输计划」集合里用线性规划求最优，再从最优计划里把地图「逼」出来。这一步松弛思想催生了传输问题的对偶理论，让这门数学在经济学与运筹学里扎下根：1975年，康托罗维奇因此获得诺贝尔经济学奖。1987年，法国数学家布勒尼耶（Yann Brenier）证明了一座惊人的桥：在平方距离代价下，最优传输映射恰好是某个凸函数的梯度——纯粹的几何问题，就此与偏微分方程的核心方程之一「蒙日-安培方程」合流；卡法雷利（Luis Caffarelli）等人随即在强凸假设下建立起光滑性（正则性）理论。到世纪之交，最优传输已是蓬勃的领域，但核心难题之一——光滑性——仍被苛刻的假设锁着。\n\n**二、拆掉苛刻的假设：正则性理论的一次解放。** 经典理论的软肋是假设太强：区域要凸、密度要光滑，而现实世界的形状与分布千姿百态。菲加利与德菲利皮斯（Guido De Philippis）等合作者发展出整套新技术，把光滑性结论推进到远为一般的代价函数与区域上：他们证明了蒙日-安培方程解的二阶可积性（W^{2,1}）估计——即使测度几乎没有光滑性可言；又证明了最优传输映射的「部分正则性」：除去一个很小的奇异集合之外处处光滑。打个比方，原本只能在笔直平原上行驶的列车，从此可以开进弯曲的山地。这些成果被系统整理进他的专著《蒙日-安培方程及其应用》，成为该方向的必读文献。\n\n**三、量出「差不多」的尺寸：定量稳定性。** 经典几何不等式擅长宣布「谁能夺冠」：所有等面积图形中，圆的周长最短（等周不等式）；两块凸体混合后的体积不小于各自体积的加权平均（布伦-闵可夫斯基不等式）。可科学家更想知道「亚军离冠军究竟有多远」。菲加利与马吉（Francesco Maggi）、普拉泰利（Aldo Pratelli）等合作，以「质量运输」为工具，把一批经典不等式升级为「定量版本」：如果一个图形的周长只比圆多出一点点，就能精确估计它与圆到底有多接近。这类稳定性结果后来被不断推广，成为几何分析与泛函分析中的重型工具。\n\n**四、把传输送进天气预报与经济学。** 菲加利不止于纸面。他与气象学家卡伦（Mike Cullen）等合作，为描述大气锋面——冷暖气团相遇、降雨带生成——的「半地转方程组」建立严格的数学理论；其中关键的一步，是他洞察到方程组背后的坐标变换，本质上正是一个最优传输映射。抽象的传输理论，由此落进大气动力学。他还把传输方法带进经济学的「多维筛选」问题（与 Kim、McCann 合作）：厂商如何为不同类型的客户设计分层合同与定价——本质上也是一道「把东西送到对的人手里」的传输问题。此外，他在与传输理论相关的多个方向持续产出基础性论文，是这一代分析学家中最具代表性的人物之一。\n\n**五、为什么是第一流。** 颁奖词一句话覆盖三个领域，恰是菲加利工作的写照：最优传输本身属于度量几何，而它的应用横跨偏微分方程与概率论。他与前人、同侪一起，把一个两百年前的「应用题」，锻造成现代数学的中枢：为方程提供几何直觉，为概率提供距离，为几何提供稳定性，也为计算机里的算法提供框架。地基一旦拓宽，上面的建筑才能越长越高。\n\n## 现实应用\n\n普通人很少听到「最优传输」四个字，但它已经悄悄住进了你的手机和医院。\n\n**例子一：人工智能里的「推土机距离」。** 训练生成式 AI 时，怎么衡量「模型画出的图」与「真实照片」这两组数据的差距？早期做法常常失真、训练不稳；研究者改用最优传输定义的「推土机距离」（Wasserstein 距离）——把一堆数据「搬」成另一堆的最小成本——训练立刻变得稳定可控，这就是 WGAN 背后的想法。今天，比较数据分布、检测异常、稳定地训练生成模型，机器学习工具箱里到处是最优传输的影子；连快速求解传输问题的 Sinkhorn 算法，都成了算法课的标准内容。你每一次与 AI 修图、绘画工具打交道，背后都可能有一只无形的手，在替你「搬运」像素的分布。\n\n**例子二：医院里的「配准」，手机里的「调色」。** 在医院里，医生常要把病人前后两次扫描（比如初诊与复查的核磁共振）严丝合缝地叠在一起，才能看出病灶的细微变化——这个「配准」过程，数学上正是寻找一张把一幅图像变形到另一幅图像的最优传输映射。同样的技术也藏在你每天的修图动作里：把一张照片的色调与明暗「迁移」到另一张上，其严谨的做法之一，就是求解两个颜色分布之间的最优传输问题。从卫星遥感影像的拼接，到医学影像里的形变分析，都是这一族问题在人间的化名。\n\n从1781年蒙日笔下的土方车，到2018年里约的领奖台，再到今天你手机里被悄悄「搬运」的一枚像素——最优传输这门学问走了两百多年，而菲加利的名字，被刻在了它最宽阔的一段河道上。","contentType":"text/markdown","attachments":[],"quotePin":""}